Question

15．为研究“在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率的和”这个课题，我们可以分三步进行研究：（I）取特殊事件进行研究；（Ⅱ）观察分析上述结果得到研究结论；（Ⅲ）试证明你得到的结论．现在，请你完成：
（1）抛掷硬币4次，设P₀，P₁，P₂，P₃，P₄分别表示正面向上次数为0次，1次，2次，3次，4次的概率，求P₀，P₁，P₂，P₃，P₄（用分数表示），并求P₀+P₁+P₂+P₃+P₄；（2）抛掷一颗骰子三次，设P₀，P₁，P₂，P₃分别表示向上一面点数是3恰好出现0次，1次，2次，3次的概率，求P₀，P₁，P₂，P₃（用分数表示），并求P₀+P₁+P₂+P₃；
（3）由（1）、（2）写出结论，并对得到的结论给予解释或给予证明．

Answer 1

分析 （1）用A_i（i=1，2，3，4）表示第i次抛掷硬币掷得正面向上的事件，则A_i发生的次数X，服从二项分布，即X∽$B（{4，\frac{1}{2}}）$，分别求得P₀、P₁、P₂、P₃、
P₄ 的值，可得P₀+P₁+P₂+P₃+P₄的值．
（2）用A_i（i=1，2，3）表示第i次抛掷骰子掷得向上一面点数是3的事件，则A_i发生的次数X服从二项分布，即X∽$B（{3，\frac{1}{6}}）$，分别求得P₀、P₁、P₂、P₃、的值，可得P₀+P₁+P₂+P₃ 的值．
（3）在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和为1．
证明：在n次独立重复试验中，事件A每一次发生的概率为p，则X∽B（n，p），∴${P_i}=C_n^i{p^i}{（{1-p}）^{n-i}}$，计算 $\sum_{i=0}^{n}{p}_{i}$=1．
或：根据A₁∪A₂∪…∪A_i∪…∪A_n是必然事件，故在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和为1．

解答 解：（1）用A_i（i=1，2，3，4）表示第i次抛掷硬币掷得正面向上的事件，则A_i发生的次数X，
服从二项分布，即X∽$B（{4，\frac{1}{2}}）$，∴${P_i}=C_4^i{（{\frac{1}{2}}）^i}{（{\frac{1}{2}}）^{4-i}}=C_4^i{（{\frac{1}{2}}）^4}（i=0，1，2，3，4）$，
所以${P_0}=\frac{1}{16}，{P_1}=\frac{1}{4}，{P_2}=\frac{3}{8}，{P_3}=\frac{1}{4}，{P_4}=\frac{1}{16}$，P₀+P₁+P₂+P₃+P₄=1．
（2）用A_i（i=1，2，3）表示第i次抛掷骰子掷得向上一面点数是3的事件，则A_i发生的次数X服从二项分布，即X∽$B（{3，\frac{1}{6}}）$，
∴${P_i}=C_3^i{（{\frac{1}{6}}）^i}{（{\frac{5}{6}}）^{3-i}}（i=0，1，2，3）$，
所以${P_0}=\frac{125}{216}，{P_1}=\frac{25}{72}，{P_2}=\frac{5}{72}，{P_3}=\frac{1}{216}$，∴P₀+P₁+P₂+P₃=1．
（3）在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和为1．
证明：在n次独立重复试验中，事件A每一次发生的概率为p，
则X∽B（n，p），∴${P_i}=C_n^i{p^i}{（{1-p}）^{n-i}}$，∴$\sum_{i=0}^n{P_i}=\sum_{i=0}^n{C_n^i}{p^i}{（{1-p}）^{n-i}}={[{（{1-p}）+p}]^n}=1$．
或这样解释：A₁∪A₂∪…∪A_i∪…∪A_n是必然事件，
所以，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k（k=0，1，2，3，…，n）次的概率的和为1．

点评 本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，解答本题关键是判断出所研究的事件是那一种概率模型，属于中档题．