Question

10．秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程，选某艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，其P（ξ＞0）=$\frac{7}{10}$．
（Ⅰ）求选该艺术课程的学生人数；
（Ⅱ）写出ξ的概率分布列并计算Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有7-x人，则只会一项的人数是7-2x人，利用对立事件概率计算公式求出x=2，由此能求出选该艺术课程的学生人数．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有7-x人，
则只会一项的人数是7-2x人，
∵P（ξ＞0）=P（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=$\frac{7}{10}$，
∴P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，即$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}=\frac{3}{10}$，
解得x=2，
∴选该艺术课程的学生人数共有5人．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的概率分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴Eξ=$0×\frac{3}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．