Question

已知：f(x)=x+

1

x

，
（1）求函数f（x）的定义域
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明结论
（3）求函数f（x）在[

1

3

，

1

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域
（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）在（0，1）上的单调性．
（3）判断函数f（x）在[

1

3

，

1

2

]上的单调性，利用单调性即可求最值．

解答：解：（1）要使函数有意义，则x≠0，即函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
（2）函数f（x）在（0，1）上单调递减，
设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)+

x2-x1

x1?x2

=(x1-x2)?

x1x2-1

x1?x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?

x1x2-1

x1x2

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上的单调递减．
（3）由（2）知f（x）在（0，1）上的单调递减．
∴函数f（x）在[

1

3

，

1

2

]上也单调递减，
∴当x=

1

3

时，函数f（x）取得最大值f（

1

3

）=

1

3

+3=

10

3

，
当x=

1

2

时，函数f（x）取得最小值f（

1

2

）=

1

2

+2=

5

2

．

点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．利用函数的单调性是求最值的基本方法．