Question

14．如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为圆I与边CA的切点．
（1）求证A，I，H，E四点共圆；
（2）若∠C=50°，求∠IEH的度数．

Answer 1

分析 （1）由于⊙I切AC于点E，可得IE⊥AC，又AH⊥IH，可得A、I、H、E四点共圆；
（2）在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧．再利用三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出．

解答 （1）证明：由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC，结合HI⊥AH，得∠AEI=∠AHI=90°，所以A，I，H，E四点共圆．
（2）解：由（1）知A，I，H，E四点共圆，在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧，
∴∠IEH=∠HAI．
∵锐角△ABC的内心为I，
∴AI、BI分别是∠BAC、∠ABC的平分线，
可得∠HIA=∠ABI+∠BAI=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
结合IH⊥AH，得∠HAI=90°-∠HIA=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠C）=$\frac{1}{2}$∠C，所以∠IEH=$\frac{1}{2}$∠C．
由∠C=50°得∠IEH=25°．

点评 本题考查了四点共圆的判定与性质、弦切角定理、三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．