Question

7．如图，已知⊙O₁、⊙O₂的半径分别为r₁、r₂，⊙O₂经过点O₁，且两圆相交于点A、B，C为⊙O₂上的点，连接AC交⊙O₁于点D，再连接BC、BD、AO₁、AO₂、O₁O₂有如下四个结论：①∠BDC=∠AO₁O₂；②$\frac{BD}{BC}$=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$③AD=DC  ④BC=DC，其中正确结论的序号为①②④．

Answer 1

分析 ①延长O₂O₁交圆O₁于M，连接AB、AM、BM、O₂B，根据相交两圆的性质推出O₂O₁是AB的垂直平分线，得出∠AO₁O₂=$\frac{1}{2}$∠AO₁B=∠AMB，根据圆内接四边形的性质得出∠AMB=∠BDC，即可判断；②证△BDC∽△AO₁O₂即可；③无法证出BD=DC，即可判断③；④由△BDC∽△AO₁O₂，得出∠O₂AO₁=∠DBC，∠BDC=∠AO₁O₂，根据等腰三角形的性质得出∠BDC=∠CBD即可．

解答 解：延长O₂O₁交圆O₁于M，连接AB、AM、BM、O₂B，
∵圆O₁与圆O₂交于A、B，
∴O₂O₁是AB的垂直平分线，
∵O₁A=O₁B，
∴∠AO₁O₂=$\frac{1}{2}$∠AO₁B=∠AMB，
∵四边形AMBD是圆O₁的内接四边形，
∴∠AMB=∠BDC，
∴①正确；
∵O₁A=O₁B，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AO₂B=∠AO₂M，∠AO₁O₂=∠AMB，
∴△BDC∽△AO₁O₂，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$，
∴②正确；
∵△BDC∽△AO₁O₂，
∴∠O₂AO₁=∠DBC，∠BDC=∠AO₁O₂，
∵O₂A=O₂B，
∴∠AO₁O₂=∠O₂AO₁，
∴∠DBC=∠BDC，
∴DC=BC，∴④正确；
无法证出∠C=∠DBC，
即BD≠DC，
∵AD=BD，
∴③错误．
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查对相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，相交两圆的性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理，线段的垂直平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是证此题的关键，题型较好，难度适中．