Question

14．设p：方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+2}=1$表示双曲线；q：方程x²-2mx+1=0有实数根，求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 “p且q”为真命题，即p和q都为真命题，根据双曲线的性质及△≥0，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：“p且q”为真命题，即p和q都为真命题，
当命题p为真命题时，方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+2}=1$，表示双曲线，
∴（1-2m）（m+2）＜0，
解得m＜-2，或m＞$\frac{1}{2}$，
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2或m＞$\frac{1}{2}$}；  
当命题q为真命题时，
方程x²-2mx+1=0有实数根，
∴△=4m²-4（2-m）≥0，
解得：m≤-2，或m≥1；
∴实数m的取值范围是{m|m≤-2或m≥1}，
综上可知：实数m的取值范围{m|m＜-2或m≥1}．

点评 本题考查了双曲线的概念与应用问题，考查了命题真假的判断问题，一元二次方程有解的判断问题，属于中档题．