Question

11．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为$\sqrt{3}$，在正方体表面上与点A距离是2的点形成一条封闭的曲线，这条曲线的长度是（　　）

• A． π
• B． $\frac{3}{2}π$
• C． 3π
• D． $\frac{5}{2}π$

Answer 1

分析 本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．

解答 解：此问题的实质是以A为球心，以2为半径的在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为$\frac{π}{6}$，A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为
r=1，故各段弧圆心角为 $\frac{π}{2}$，∴这条曲线长度为$l=3×\frac{π}{6}×2+3×\frac{π}{2}×1=\frac{5π}{2}$，

∴故答案为：D．

点评 本题考查弧长公式的应用，解题时要认真审题，仔细观察，避免出错，弧长公式；棱柱的结构特征．