Question

如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=3

2

．
（1）求证：OD⊥平面ABC；
（2）求三棱锥M-ABD的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意，OM=OD=3，又DM=3

2

，利用勾股定理的逆定理可得OD⊥OM．
利用菱形的性质可得OD⊥AC．再利用线面垂直的性质可得OD⊥平面ABC．
（2）三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积．
由（1）知，OD⊥平面ABC，OD为三棱锥D-ABM的高．再求出△ABM的面积，利用三棱锥的体积计算公式即可．

解答：（1）证明：由题意，OM=OD=3，
∴OM2+OD2=18=(3

2

)2=DM2．
∴∠DOM=90°，∴OD⊥OM．
又∵菱形OM∩AC=O，∴OD⊥AC．
∵OM∩AC=O，∴OD⊥平面ABC．
（2）解：三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积．
由（1）知，OD⊥平面ABC，
∴OD=3为三棱锥D-ABM的高．
△ABM的面积=

1

2

BM×BA×sin120°=

1

2

×3×6×

3

2

=

9 3

2

，
所求体积等于

1

3

×S△ABM×OD=

9 3

2

．

点评：熟练掌握线面垂直的判定定理、勾股定理的逆定理、菱形的性质、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式等是解题的关键．