Question

8．在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n（S_n-1）．
（Ⅰ）求证“数列{$\frac{1}{S_n}$}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=log₂$\frac{S_n}{S_{n+2}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足T_n≥2+log₂3的最小正整数n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a_n=S_n-S_n-1代入题设递推式整理求得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，进而利用等差数列的定义推断出数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列
（Ⅱ）依据（Ⅰ）可求得数列$\frac{1}{{S}_{n}}$的通项公式，代入b_n中求得其表达式，进而利用对数运算的法则求得T_n，根据T_n≥2+log₂3利用对数函数的单调性求得n的范围，进而求得最小正整数n．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵S_n²=a_n（S_n-1）∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1）（n≥2）
∴S_nS_n-1=S_n-1-S_n，即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是1为首项，1为公差的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=$\frac{1}{n}$，
∴b_n=log₂$\frac{S_n}{S_{n+2}}$=log₂$\frac{n+2}{n}$，
∴T_n=log₂（$\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}$×…×$\frac{n+2}{n}$）=log₂$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∵T_n≥2+log₂3，
∴log₂$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$≥2+log₂3=log₂12
则（n+1）（n+2）≥24，解得n≥4，
∴满足T_n≥2+log₂3的最小正整数为4．

点评 本题主要考查了数列的递推式，等差关系的确定，数列的通项公式和求和公式．