Question

（本小题10分）已知圆C：x²＋（y－3）²＝4，一动直线l过A（－1,0）与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.
（Ⅰ）求证：当l与m垂直时，l经过圆心C；
（Ⅱ）当＝2时，求直线l的方程;
（Ⅲ）请问：是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

解析试题分析：（Ⅰ）根据已知求出直线方程后再验证圆心满足所求直线方程；（Ⅱ）设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r²－d².利用此公式即可求得直线方程，注意斜率的讨论；（Ⅲ）有关探索性问题，一般是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果得到可以成立的结果，就可作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结果，则说明假设不存在．
试题解析：（1）∵直线l与直线垂直，且
∴，又


,即圆心在直线上.
当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C.    3分
（2）①当直线l与轴垂直时，易知符合题意．    4分
②当直线l与轴不垂直时，设直线l的方程为，即．
，．
则由，得．
∴直线l：．
从而所求直线l的方程为或     6分
（3），
∴
①当直线l与轴垂直，易得，则
又，
∴          7分
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为，
则由，得．        8分
则．
∴．     9分
综上，与直线l的斜率无关，且．    10分
考点：解析几何的综合应用