Question

14．已知函数f（x）=-x³+3ax²-4（a∈R）．
（1）若a≠0，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=b处取得极值-$\frac{7}{2}$，且g（x）=f（x）+mx在[0，2]上单调递减，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a≠0，求导数，利用导数的正负求f（x）的单调区间；
（2）利用函数f（x）在x=b处取得极值-$\frac{7}{2}$，求出f（x）的解析式，根据g（x）=f（x）+mx在[0，2]上单调递减，利用导数求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=-x³+3ax²-4，
∴f′（x）=-3x²+6ax=-3x（x-2a），
若a＞0，函数的单调减区间是（-∞，0），（2a，+∞），单调增区间是（0，2a）；
a若＜0，函数的单调减区间是（-∞，2a），（0，+∞），单调增区间是（2a，0）；
（2）由（1）可知，b=2a，f（b）=-$\frac{7}{2}$，可得a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-x³+$\frac{3}{2}$x²-4，
∴g（x）=-x³+$\frac{3}{2}$x²-4+mx，
依题意，g′（x）=-3x²+3x+m≤0在区间[0，2]上恒成立，
x=0式满足；
x≠0时，-3x²+3x+m≤0，即△=3²-4×（-3）×m=9+12m＜0
解得m＜-$\frac{3}{4}$
∴m≤-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，正确求出导函数是关键．