题目内容

已知向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 和 $数学公式$ 的夹角相等，且 $数学公式$ ，
（2）求 $数学公式$ 的坐标；
（2）求 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角．

解：（1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ₂则cosθ₁=cosθ₂，
∴ $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 或（-6，-2）．
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =（-4，3）， $\text{[math]}$ =（-5，0），
所以cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ，
所以＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=arccos $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =（8，1）， $\text{[math]}$ =（7，4），
所以cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$
所以＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=arccos $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设出 $\text{[math]}$ 的坐标，利用向量的数量积公式表示出向量的夹角余弦，通过两组的夹角相等，列出方程组，求出 $\text{[math]}$ 的坐标．
（2）利用（1）求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的坐标，利用向量的数量积公式求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角余弦，利用反三角函数求出夹角．
点评：本题考查利用向量的数量积求向量的夹角、向量模的坐标公式．计算量较大，是一道中档题．