Question

13．设函数f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心和单调减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个长度单位后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，可求单调递减区间，利用三角函数的对称性可求对称中心．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1，由已知可求2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，利用余弦函数的图象和性质可求最值．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1+cos2x=$\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴函数的最小正周期为π，
∵由：2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
∴f（x）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，可得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的对称中心是：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，1），k∈Z．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个长度单位后得到函数g（x）的图象，
可得：g（x）=f（x-$\frac{π}{3}$）=cos[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]+1=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
由：x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
可得：cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[$\frac{1}{2}$，2]，
可得：f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$，f（x）的最大值是2．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．