Question

11．函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简，然后通过正弦函数的单调增区间求解即可．
（2）求出相位的范围，利用正弦函数的有界性，求解函数的值域即可．

解答 解：（1）$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$…（2分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$解得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$…（5分）
f（x）的递增区间为$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（k∈Z）$…（6分）
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$…（8分）
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，∴$0≤sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}$…（10分）
∴f（x）的值域是$[{0，\frac{3}{2}}]$…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．