Question

如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．

（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；

（Ⅱ）求BP的长；

（Ⅲ）求直线AP与平面BCD所成的角．

 

Answer 1

（I）见解析;（Ⅱ）1;（Ⅲ）45°

【解析】

试题分析：（I）由面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC推出CQ⊥面ABC,再推出CQ⊥AB;（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，由沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合可知AP=DP即，解得BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，所以∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，，因此直线AP与平面BCD所成的角为45°.

试题解析：（I）证明：∵面ABC⊥面BCQ 又CQ⊥BC

∴CQ⊥面ABC

∴CQ⊥AB；

（Ⅱ）【解析】
作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，

设AB=1，则BD=2，设BP=x，

由题意AP=DP，

∴，

∴x=1；

（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，

∴∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，

∴∠APO=45°，

∴直线AP与平面BCD所成的角为45°．

考点：1.空间直线的位置关系的判定;2.空间两点间的距离;3.线面角的求解