Question

18．已知关于x的不等式2x-1＞m（x²-1）．
（1）是否存在实数m，使不等式对任意的x∈R恒成立？并说明理由．
（2）若对于m∈[-2，2]不等式恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可；
（2）设f（m）=（x²-1）m-（2x-1），由m∈[-2，2]时，f（m）＜0恒成立，根据二次函数的性质得到f（2）＜0且f（-2）＜0，解不等式组求出x的范围即可．

解答 解：（1）原不等式等价于mx²-2x+（1-m）＜0，
若对于任意x恒成立，
必须$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△＜0\end{array}\right.$，解得m∈∅，
所以不存在实数m，使不等式恒成立．
（2）设f（m）=（x²-1）m-（2x-1），
当m∈[-2，2]时，f（m）＜0恒成立，
必须$\left\{\begin{array}{l}f（2）＜0\\ f（-2）＜0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-2x-1＜0\\-2{x^2}-2x+3＜0\end{array}\right.$
∴x的范围是$\left\{{x|\frac{{-1+\sqrt{7}}}{2}＜x＜\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}}\right\}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道中档题．