题目内容
1．
如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；
②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；
③若四棱锥A-MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；
④若多面体ABCD-MENF的体积V=h（x），x∈（$\frac{1}{2}$，1），则h（x）为单调函数；
其中假命题为 （ ）
| A． | ① | B． | ② | C． | ③ | D． | ④ |
分析 根据已知中正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），逐一分析四个结论的真假，可得答案．
解答 解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，
∴EN∥MF，
同理：FN∥EM，
∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；
②MENF的面积s=f（x）=$\frac{1}{2}$（EF×MN），
当M为BB′的中点时，即x=$\frac{1}{2}$时，MN最短，此时面积最小．故正确；
③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，
它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．
因为三角形AEF的面积是个常数．
M，N到平面AEF的距离和是个常数，
所以四棱锥C'-MENF的体积V为常数函数，故正确．
④多面体ABCD-MENF的体积V=h（x）=$\frac{1}{2}$VABCD-A′B′C′D′=$\frac{1}{2}$为常数函数，故错误；
故选：D．
点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，函数的最值，函数的单调性，棱锥的体积等知识点，难度中档．
练习册系列答案
相关题目
9．
为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测指标评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在（40，60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．现检验员小张检测出200个合格零件，根据指标评分绘制的频率分布直方图如图所示．
（1）求出频率分布与直方图中a的值；
（2）估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；
（2）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如表：
假设每个零件被修复与否相互独立．现有5个零件的检测指标评分结果为（单位：分）：38，43，45，52，58，
①求这5个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率；
②记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测指标评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在（40，60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．现检验员小张检测出200个合格零件，根据指标评分绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出频率分布与直方图中a的值；
（2）估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；
（2）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如表：
| 零件评分结果所在区间 | （40，50] | （50，60] |
| 每个零件个数被修复的概率 | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ |
①求这5个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率；
②记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
13．某几何体的三视图如图所示，方格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积为（ ）
| A． | $\frac{4}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | 2 | D． | 4 |