Question

14．如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁对角线AC₁上的动点，过点M作垂直于面ACC₁A₁的直线与正方体表面分别交于P、Q两点，设AM=x，PQ=y，则函数y=f（x）的图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据题意和正方体的特征，分析点P动的过程中，x随着y变化情况以及变化速度，结合正方体的对称性质可求．

解答 解：设正方体的棱长为1，AM=x∈[0，$\sqrt{3}$]，PQ=y∈[0，$\sqrt{2}$]，PQ在底面上的射影平行于BD，且最大值为BD．
从而当P在AO上时，O为AC₁的中点，分别过M、Q、P作底面的垂线，垂足分别为M₁、Q₁、P₁，
则y=PQ=P₁Q₁=2M₁Q₁=2AM₁=2•xcos∠C₁AC=2x•$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x．
而当P在C₁O上时，然后x变大y变小，直到y变为0，根据对称性可知此时y=2$\sqrt{2}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x，
故函数y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{6}}{3}x，x∈[0，\frac{\sqrt{3}}{2}]}\\{2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{6}}{3}x，x∈（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}]}\end{array}\right.$，
结合所给的答案，
故选：C．

点评 本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力，属于中档题．