Question

4．若函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函数，则使f（x）＞4成立的x的取值范围为（0，${log}_{2}\frac{5}{3}$ ）．

Answer 1

分析 根据f（-x）=-f（x），求得a=1，可得 f（x）的解析式，由f（x）＞4，可得 $\frac{2}{{2}^{x}-1}$＞3 且2^x-1＞0，由此求得x的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即 $\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-a}$-=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$，
即 $\frac{1{+2}^{x}}{1-a{•2}^{x}}$=$\frac{1{+2}^{x}}{a{-2}^{x}}$，1-a•2^x=a-2^x，求得a=1，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$．
由f（x）＞4，可得 1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＞4，∴$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＞3 且2^x-1＞0，即 1＜2^x＜$\frac{5}{3}$，
求得 0＜x＜${log}_{2}\frac{5}{3}$，
故答案为：（0，${log}_{2}\frac{5}{3}$ ）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，解指数不等式，属于中档题．