Question

8．如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，且四边形ABEF为菱形，ABCD为直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，AB=2AD=2CD=2，H是EF的中点
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE
（2）求四棱锥C-ABEH的体积．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理证明AH⊥平面ABCD，即可证明平面AHC⊥平面BCE；
（2）求出棱锥的底面积和高，结合棱锥的体积公式，即可求四棱锥C-ABEH的体积．

解答 解：（1）证明：连接AE，在菱形ABEF中，∠ABE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∵H是EF的中点
∴AH⊥EF，
∵EF∥AB，∴AH⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AH⊥平面ABCD，
∴AH⊥BC，
在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=2，∠BAD=∠CDA=90°，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，从而AC²+BC²=AB²，
则AC⊥BC，
∵AH∩AC=A，∴BC⊥平面AHC，
∵BC?平面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE
（2）过C作CG⊥AB于G，则CG⊥AH，
∵AB∩AH=A，
∴CG⊥平面ABEH，
∵AH=$\sqrt{3}$，
∴S_ABEH=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×（2+1）$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
四棱锥C-ABEH的体积V=$\frac{1}{3}×$$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及四棱锥的体积的计算，根据相应的判定定理结合四棱锥的体积公式是解决本题的关键．