Question

9．（1）求函数$f（x）=x+\sqrt{1-2x}$的值域；
（2）已知$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=3x-2$，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意设t=$\sqrt{1-2x}$，求出t的范围和x的表达式，代入f（x）化简后，根据一元二次函数的性质和t的范围，求出函数f（x）的值域；
（2）令x取$\frac{1}{x}$代入原方程化简，与原方程联立后求出f（x）的解析式．

解答 解：（1）设t=$\sqrt{1-2x}$，则t≥0，x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
代入f（x）得，y=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+t=$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$，
因为t≥0，所以函数y的最大值是1，
即函数f（x）的值域是[1，+∞）；
（2）由题意得，$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=3x-2$，①
令x取$\frac{1}{x}$代入得，$f（\frac{1}{x}）+2f（x）=\frac{3}{x}-2$，②
由①②解得f（x）=$\frac{2}{x}-x-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查换元法求函数的值域，列方程法求函数的解析式，以及一元二次函数的性质，属于中档题．