Question

5．已知定义在R上的函数f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$是奇函数，其中a为实数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）当m+n≠0时，比较$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}$与f（0）的大小并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数是奇函数，结合f（0）=0，解方程即可求实数a的值；
（Ⅱ）结合方式函数的性质即可求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）利用定义法判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系即可证明当m+n≠0时，比较$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}$与f（0）的大小关系．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）=a-\frac{1}{{{2^x}+1}}$在R上是奇函数，
∴f（0）=0，即$a-\frac{1}{{{2^0}+1}}=0$，
∴$a=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
∴-1＜-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜0，则$-\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
即$-\frac{1}{2}＜y＜\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）的值域为$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
（Ⅲ）当m+n≠0时，$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞f（0）$．
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}）-（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）}}$
∵x₁＜x₂，
∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0，（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）＞0$，
∴$\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）}}＞0$
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以函数$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$在R上是单调递增，
①若m+n＞0，即m＞-n，所以f（m）＞f（-n），m³＞（-n）³，
又因为$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$在R上是奇函数，
所以f（-n）=-f（n），f（m）+f（n）＞0，m³+n³＞0
所以$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞0$，
又因为f（0）=0，所以$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞f（0）$；
②若m+n＜0，即m＜-n，
所以f（m）＜f（-n），m³＜（-n）³，
又因为$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$在R上是奇函数，
所以f（-n）=-f（n），f（m）+f（n）＜0，m³+n³＜0
所以$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞0$，
又因为f（0）=0，
所以$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞f（0）$．
综上所述：当m+n≠0时，$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞f（0）$．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合分式函数的性质是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．