题目内容
14．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点F的极坐标为（2$\sqrt{2}$，π），且F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•丨FB丨的值；
（Ⅱ）求曲线C内接矩形周长的最大值．
分析 （I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；
（II）设矩形的顶点坐标为$（2\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长，求出此函数的最大值．
解答 解：（I） 点F的极坐标为$（2\sqrt{2}，π）$所以直角坐标为$（-2\sqrt{2}，0）$∴$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ 0=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，∴$m=-2\sqrt{2}$
曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，
所以直角坐标方程为x2+3y2=12-------------------（3分）
将直线AB的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C直角坐标方程中
可得t2-2t-2=0
所以|FA|•|FB|=2----------------------------（6分）
（Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为$（2\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$
由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为$8\sqrt{3}cosθ+8sinθ$=$16sin（θ+\frac{π}{3}）$------------（9分）
当$θ+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$时，即$θ=\frac{π}{6}$时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．---------（10分）
点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | $\frac{7}{10}$ |
如图，在棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，AB⊥AD，AB=AC=2CD=4，AA1=3，过AC的平面分别与A1B1，B1C1交于E1，F1，且E1为A1B1的中点．
如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是$\widehat{AC}$的中点，BD的延长线与CE交于E．
三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥面ABC，AC1⊥面CBA1，AC1∩A1C=F．
已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．
如图，已知ABCDEF是正六边形，GA、ND都垂直于平面ABCDEF，平面FGN交线段DE于点R，点M是CD的中点，AB=DN=1，AG=2．
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，E为PC上的点，且BE⊥平面PAC．