Question

6．已知F₁（-c，0）为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，直线y=kx与双曲线交于A，B两点，若|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{c}{a}$|$\overrightarrow{B{F}_{1}}$|，则双曲线的离心率的取值范围是（1，1+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 连接AF₂，BF₂，可得四边形AF₁BF₂为平行四边形，即有|BF₁|=|AF₂|，由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，结合已知条件和|AF₂|≥c-a，运用离心率公式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：连接AF₂，BF₂，可得四边形AF₁BF₂为平行四边形，
即有|BF₁|=|AF₂|，
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{c}{a}$|$\overrightarrow{B{F}_{1}}$|，即为|AF₁|=$\frac{c}{a}$|AF₂|，
可得2a=（$\frac{c}{a}$-1）|AF₂|，
由双曲线的性质可得|AF₂|≥c-a，
即有2a≥（$\frac{c}{a}$-1）（c-a），
由e=$\frac{c}{a}$可得e²-2e-1≤0，
解得1-$\sqrt{2}$≤e≤1+$\sqrt{2}$，
但e＞1，即有1＜e≤1+$\sqrt{2}$，
则离心率的取值范围是（1，1+$\sqrt{2}$]．
故答案为：（1，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和性质，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题．