Question

18．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x$，
（1）求f（x）的值域；
（2）说明怎样由y=sinx的图象得到f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质可求值域．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）∵$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x$
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴由sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，可得：f（x）∈[-2，2]．
（2）把y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，可得函数y=sin（x-$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象；
再所得图象上的点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，可得函数y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象；

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．