Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥$\sqrt{3}$”发生的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，确定满足g（x）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
由题意知$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，则T=π，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
∵2cos2x≥$\sqrt{3}$，x∈[0，π]，可得：cos2x$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：2x∈[0，$\frac{π}{6}$]$∪[\frac{11π}{6}，2π]$，所以x∈[0，$\frac{π}{12}$]$∪[\frac{11π}{12}，π]$，
∴事件“g（x）≥$\sqrt{3}$”发生的概率为$\frac{\frac{π}{12}+\frac{π}{12}}{π}$=$\frac{\frac{π}{6}}{π}=\frac{1}{6}$；
故选：C．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，本题考查几何概型，三角函数的化简，学生的计算能力，属于中档题