Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且过$（1，\frac{3}{2}）$，它的左右顶点分别是A，B，点 P是椭圆上异于顶点的任意一点，直线AP，BP分别交y=$\frac{1}{2}$x和y=-$\frac{1}{2}$x于M，N两点．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知：焦点在x轴上，且$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，由c²=a²-b²，求得a与b的关系，将点$（1，\frac{3}{2}）$代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）设P（x₀，y₀），求得A和B点坐标，设直线AP的方程为$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，分别将直线y=$\frac{1}{2}$x和y=-$\frac{1}{2}$x代入，求得M和N点坐标，根据向量数量积的坐标表示求得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的表达式，由P点在椭圆上求得y₀的取值范围，代入即可求得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范围．

解答 解：（1）由题意知：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又c²=a²-b²，可得a²：b²=4：3，
又因为椭圆过点$（1，\frac{3}{2}）$，代入椭圆方程得：$\frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（{\frac{3}{2}}）}^2}}}{b^2}=1$，
代入可求得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=3}\end{array}}\right.$…（2分）．
所以所求椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）．
（2）设P（x₀，y₀），根据椭圆的对称性，不妨设y₀＞0，
根据椭圆方程，易知A（-2，0），B（2，0），…（5分）
AP的直线方程为：$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（{x+2}）}\end{array}}\right.$，
∴M：（$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2-2{y}_{0}}$，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2-2{y}_{0}}$）…（7分），
同理$N：（\frac{{4{y_0}}}{{2{y_0}+{x_0}-2}}，-\frac{{2{y_0}}}{{2{y_0}+{x_0}-2}}）$…（8分）
$⇒\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=（\frac{{4{y_0}}}{{{x_0}+2-2{y_0}}}，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2-2{y_0}}}）（\frac{{4{y_0}}}{{2{y_0}+{x_0}-2}}，-\frac{{2{y_0}}}{{2{y_0}+{x_0}-2}}）$，
=$\frac{16{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（2-2{y}_{0}）^{2}}$-$\frac{4{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（2-2{y}_{0}）^{2}}$=$\frac{12{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（2-2{y}_{0}）^{2}}$…（10分）
P在椭圆上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$⇒${x}_{0}^{2}$=4（1-$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$），（0＜y₀≤$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=$\frac{12{y}_{0}^{2}}{4（1-\frac{{y}_{0}^{2}}{3}）-（2-2{y}_{0}）^{2}}$=$\frac{3}{-\frac{4}{3}+\frac{2}{{y}_{0}}}$∈（-∞，$\frac{9\sqrt{3}+18}{2}$]∪（0，+∞），
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范围（-∞，$\frac{9\sqrt{3}+18}{2}$]∪（0，+∞）．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及其性质，平面向量数量积的坐标表示、向量的数量积坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．