Question

如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求证：平面BMN⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD 的中点E，连接AE、EN，根据三角形中位线的性质，我们可得四边形AMNE为平行四边形，即MN∥AE，进而根据线面平行的判定定理得到MN∥平面PAD．
（2）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，根据线面垂直的性质及矩形的性质，可得PA⊥AB，AD⊥AB，由线面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD，结合线面垂直的判定定理及性质，即可得到MN⊥CD；
（3）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，∠PDA=45°，E 是PD 的中点，可得MN⊥PD，MN⊥CD，由线面线面垂直的判定定理得MN⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得面BMN⊥平面PCD．
解答：证明：（1）如图所示，取PD 的中点E，连接AE、EN，
则有EN===AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四边形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AE，即AB⊥MN，
又CD∥AB，
∴MN⊥CD．
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，又∠PDA=45°，E 是PD 的中点，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD，
又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD，
∵MN?平面BMN
∴平面BMN⊥平面PCD．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定和性质是解答本题的关键．