Question

2．设双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{6}$=1的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\sqrt{3}$．
（1）求此双曲线的渐近线l₁、l₂的方程；
（2）若A、B分别为l₁、l₂上的点，且2|AB|=5|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

分析 （1）利用离心率为$\sqrt{3}$，结合c²=a²+6，可求a，c的值，从而可求双曲线方程，即可求得渐近线方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根据A、B分别为l₁、l₂上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．

解答 解：（1）∵e=$\sqrt{3}$，∴c²=3a²，∵c²=a²+6，∴a=$\sqrt{3}$，c=3．
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{6}$=1，渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=$\frac{5}{2}$|F₁F₂|=$\frac{5}{2}$×2c=15，∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=225，
∵y₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，y₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁-x₂），y₁-y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+x₂），
∴2×（2y）²+$\frac{1}{2}$×（2x）²=225，
∴$\frac{{y}^{2}}{\frac{225}{8}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{225}{2}}$=1，对应的曲线为椭圆．

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．