Question

设数列的前项和为，且满足，数列满足，且

（1）求数列和的通项公式

（2）设，数列的前项和为,求证:

（3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围。

Answer 1

 (1)∵n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2， ∴a1＝1.

∵Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，  ∴an＋1＋Sn＋1＝2.

两式相减：an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0.

即an＋1－an＋an＋1＝0    故有2an＋1＝an，∵an≠0，∴＝

∴an＝n－1.                               

∵bn＋1＝bn＋an(n＝1,2,3，…)，        ∴bn＋1－bn＝n－1.                                 

得b2－b1＝1，b3－b2＝，b4－b3＝2，bn－bn－1＝n－2(n＝2,3，…)．

将这n－1个等式相加，得

bn－b1＝1＋＋2＋3＋…＋n－2＝＝2－n－2.

又∵b1＝1，∴bn＝3－n－2(n＝1,2,3…)．            

(2)证明：∵cn＝n(3－bn)＝2nn－1.

∴Tn＝2.①

而Tn＝2.②

①－②得

Tn＝2－2×n×n.

Tn＝4×－4×n×n＝8－－4×n×n

＝8－(n＝1,2,3，…)．                      

∴Tn＜8.                                         

（3）由（1）知

由数列是递增数列，∴对恒成立，

即

恒成立，

即恒成立，              

当为奇数时，即恒成立，∴，        

当为偶数时，即恒成立，∴，      

综上实数的取值范围为