Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$•（3ⁿ-1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n²+log₃a_n，求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，从而求数列{a_n}的通项公式；
（2）化简b_n=9^n-1+n-1，从而利用拆项求和法求其前n项和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$•（3¹-1）=1，
当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{1}{2}$•（3ⁿ-1）-$\frac{1}{2}$•（3^n-1-1）
=$\frac{1}{2}$•（3-1）•3^n-1
=3^n-1；
综上所述，a_n=3^n-1；
（2）b_n=a_n²+log₃a_n=（3^n-1）²+log₃3^n-1
=9^n-1+n-1，
故b₁+b₂+…+b_n
=（1+0）+（9+1）+（81+2）+…+（9^n-1+n-1）
=（1+9+81+…+9^n-1）+（0+1+2+…+n-1）
=$\frac{1（1-{9}^{n}）}{1-9}$+$\frac{（0+n-1）}{2}$n
=$\frac{{9}^{n}-1}{8}$+$\frac{1}{2}$n（n-1）．

点评 本题考查了由前n项和求通项公式的方法应用，同时考查了拆项求和法的应用．