Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1，A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD相交于原点O，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）满足$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}$=$\frac{1}{5}$．
（1）求证：$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$；
（2）k_AB+k_BC的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得四边形ABCD为平行四边形，故$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$，即$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$；
（2）由$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}$=$\frac{1}{5}$，得4y₁y₂=x₁x₂，若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y₁y₂=x₁x₂；当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合4y₁y₂=x₁x₂
求得k，把三角形AOB的面积化为关于m的函数，利用基本不等式求其最值，进一步得到四边形ABCD面积的最大值．

解答 （1）证明：分别连接AB、BC、CD、AD，∵AC、BD相交于原点O，
根据椭圆的对称性可知，AC、BD互相平分，且原点O为它们的中点．
则四边形ABCD为平行四边形，故$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$，即$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$；
（2）解：∵$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}}$=$\frac{1}{5}$，∴4y₁y₂=x₁x₂，
若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y₁y₂=x₁x₂；
直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（4k²-m²+1）＞0，①
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∵4y₁y₂=x₁x₂，又${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
∴$（4{k}^{2}-1）{x}_{1}{x}_{2}+4km（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{m}^{2}=0$，
即$（4{k}^{2}-1）\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}+4km（\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}）+4{m}^{2}=0$．
整理得：k=$±\frac{1}{2}$．
∵A、B、C、D的位置可以轮换，∴AB、BC的斜率一个是$\frac{1}{2}$，另一个就是$-\frac{1}{2}$．
∴k_AB+k_BC=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，是定值．
不妨设${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，则${x}_{1}+{x}_{2}=2m，{x}_{1}{x}_{2}=2（{m}^{2}-1）$．
设原点到直线AB的距离为d，则${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{4{m}^{2}-4•2（{m}^{2}-1）}=\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤1．
当m²=1时满足①取等号．
∴S_{四边形ABCD}=4S_△AOB≤4，即四边形ABCD面积的最大值为4．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．