Question

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（3）记的面积为，求的最大值．

 

Answer 1

（1）圆心的轨迹：；

（2）和的比值为一个常数，这个常数为；

（3）当时，取最大值．

【解析】

试题分析：（1）设圆心的坐标为，半径为 

利用已知条件，判断得到动圆与圆只能内切，

从而由，

判断得出圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，且，

求得圆心的轨迹：；

（2）设，研究直线，直线与椭圆联立的方程组，应用韦达定理，弦长公式，确定作出结论；

（3）注意到的面积的面积，

利用到直线的距离，将面积表示为 ，应用“换元”思想，

令，得到应用基本不等式得解．

试题解析：（1）设圆心的坐标为，半径为 

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动

圆与圆只能内切                               2分圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹：                                             4分

（2）设，直线，则直线

由可得：，

                       6分

由可得：

                        8分

和的比值为一个常数，这个常数为                            9分

（3），的面积的面积到直线的距离

                     11分

令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值                                        14分

考点：圆与圆的位置关系，椭圆的定义、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，基本不等式的应用．