Question

1．已知函数f（x）=x²+2x+a，g（x）=lnx-2x，如果存在${x_1}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得对任意的${x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（-∞，ln2-$\frac{21}{4}$]．

Answer 1

分析 求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．

解答 解：求导函数，可得g′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（2）=ln2-4，
∵f（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+a，
∵如果存在${x_1}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得对任意的${x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，
∴$\frac{5}{4}$+a≤ln2-4，
∴a≤ln2-$\frac{21}{4}$
故答案为（-∞，ln2-$\frac{21}{4}$]

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为f（x）_min≤g（x）_min．