Question

13．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
（1）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．
（3）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积和模计算即可；
（2）根据向量垂直的条件和向量的数量积公式计算即可；
（3）根据向量平行的条件和向量的数量积公式计算即可．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos60°=1+2+2×1×$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=3+$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3+\sqrt{2}}$，
（2）设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ
∵$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=1-$\sqrt{2}$cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°，
（3）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为0°或180°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos0°=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos180°=-$\sqrt{2}$

点评 本题考查了向量的数量积公式以及向量的垂直和平行的条件，属于中档题．