Question

下列函数为偶函数，且在（-∞，0）上单调递增的函数是

 

．
①f(x)=x

2

3

；②f（x）=x^-3；③f(x)=(

1

2

)|x|；④f（x）=|lgx|

Answer 1

分析：首先求出四个函数的定义域，由定义与判断④是非奇非偶函数，然后由奇偶性定义判断②是定义域上的奇函数，最后根据偶函数在对称区间上具有相反的单调性说明①不正确，只有③符合是偶函数，且由复合函数的单调性判出其在（-∞，0）上单调递增，所以答案可求．

解答：解：函数f（x）=x

2

3

的定义域是R，且在（0，+∞）上为增函数，
又f（-x）=(-x)

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3

=x

2

3

=f（x），所以函数f（x）=x

2

3

是定义域上的偶函数，
由偶函数在对称区间上具有相反的单调性，则在（-∞，0）上是减函数．
所以①不正确；  
函数f（x）=x^-3的定义域是{x|x≠0}，且f（-x）=（-x）^-3=-x^-3=-f（x），
所以，函数f（x）=x^-3是定义域上的奇函数．
所以②不正确；
函数f(x)=(

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2

)|x|的定义域为R，内层函数t=g（x）=|x|在（-∞，0）上为减函数，
外层函数y=(

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)t为减函数，所以函数f(x)=(

1

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)|x|在（-∞，0）上为增函数，
又f(-x)=(

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)|-x|=(

1

2

)|x|=f(x)，所以函数f(x)=(

1

2

)|x|是定义域上的偶函数．
所以③正确；
函数f（x）=|lgx|的定义域为（0，+∞），所以该函数在定义域上为非奇非偶函数．
所以④不正确．
故答案为③．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，考查了基本初等函数的单调性，考查了复合函数的单调性的判断，复合函数的单调性遵循同增异减原则，是中档题．