Question

已知函数。

     （1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围；

     （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；

     （3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1） 当时，

         设且，由是上的增函数，则      2分

         3分

         由，知，所以，即      5分

   （2）当时，在上恒成立，即      6分

         因为，当即时取等号，        8分

         ，所以在上的最小值为。则        10分

   （3）因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且        11分

         ①若

         当时，是上的增函数，则，

         所以方程在上有两不等实根，

         即在上有两不等实根，所以

         ，即且    13分

         当时，在上递减，则，即

         ，所以  14分

②若

当时，是上的减函数，所以，即

，所以     15分