Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4（a＞0）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，4]，都存在x₀∈[2，3]，使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
（Ⅱ）求函数的最值，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-a=（x-$\sqrt{a}$）（x+$\sqrt{a}$），
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$，此时函数单调递增，
即函数的单调递增区间为（-∞，-$\sqrt{a}$]∪[$\sqrt{a}$，+∞），
由f′（x）＜0得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，此时函数单调递减，
即函数的单调递减区间为[-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$]．
（Ⅱ）∵a∈[1，4），∴$\sqrt{a}$∈[1，2），
由（1）知，f（x）在（2，3]上单调递减，
∴当x∈[2，3）时，函数f（x）的最大值为f（3）=13-3a，
若任意的a∈[1，4），都存在x₀∈（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，
等价为不等式13-3a+e^a+2a＞m成立，即e^a-a+13＞m，
设g（a）=e^a-a+13，a∈[1，4），
此时g′（a）=e^a-1≥e-1＞0，
∴当a∈[1，4）时，g（a）＞g（1）=e+12，
故m≤e+12．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及利用导数研究函数的最值，考查学生的运算和推理能力．