Question

已知一组曲线y=

1

3

ax3+bx+1，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一个数，从这些曲线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（　　）

• A．

  1

  12

• B．

  7

  60

• C．

  6

  25

• D．

  5

  16

Answer 1

分析：由题意知，所有抛物线条数是4×4=16条，从16条中任取两条的方法数是C₁₆²=120，其中与直线x=1交点处的切线的斜率为k=a+b，由与切线相互平行，可得斜率相等，讨论a+b的取值，从而可求

解答：解：a为2，4，6，8中任取一数，b为1，3，5，7中任取一数的曲线y=

1

3

ax3+bx+1，共16条，从这些曲线中任意抽取两条共C₁₆²种
∵y=

1

3

ax3+bx+1，
∴y′=ax²+b，
∴在与直线x=1交点处的切线的斜率为k=a+b因为切线相互平行，所以斜率相等，即a+b相等，
当a+b=5时，共（2，3），（4，1）两组，
当a+b=7时，共（2，5），（4，3），（6，1）三组，
当a+b=9时，共（2，7），（4，5），（6，3），（8，1）四组，
所以切线平行的曲线共C₂²+C₃²+C₄²，所以其概率为

C 2 2 + C 2 3 + C 2 4

C 2 16

=

1

12

故选A

点评：本题主要考查了由导数的几何意义求解曲线的切线的斜率，两直线平行的条件的应用及古典概型两种概率问题．