Question

20．若数列{a_n}满足${a_1}•{a_2}•{a_3}…{a_n}={n^2}+3n+2$，则a₄=$\frac{3}{2}$，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n＞1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 在原数列递推式中，取n为n-1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式和a₄的值．

解答 解：数列{a_n}满足${a_1}•{a_2}•{a_3}…{a_n}={n^2}+3n+2$，
当n=1时，a₁=1+3+2=6；
当n＞1时，a₁•a₂•a₃…a_n-1=（n-1）²+3（n-1）+2=n²+n-2；
所以a_n=$\frac{{n}^{2}+3n+2}{{n}^{2}+n}$=$\frac{n+2}{n}$；
所以a₄=$\frac{4+2}{4}$=$\frac{3}{2}$，
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n＞1}\end{array}\right.$．
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n＞1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推式以及由数列递推式求数列通项公式的问题，属中档题．