Question

9．（x-2y）³（x+y）⁴的展开式中x³y⁴项的系数是（　　）

• A． 3
• B． 12
• C． 17
• D． 35

Answer 1

分析 写出展开式的通项，由x的指数为3且y的指数为4得到r+s=4，分别求出r，s的值，代入通项求得答案．

解答 解：（x-2y）³（x+y）⁴的展开式的通项为：
$T={T}_{r+1}•{T}_{s+1}=[（-2）^{r}{C}_{3}^{r}{x}^{3-r}{y}^{r}]•[{C}_{4}^{s}{x}^{4-s}{y}^{s}]$=$（-2）^{r}{C}_{3}^{r}{C}_{4}^{s}{x}^{7-r-s}{y}^{r+s}$．
其中r=0，1，2，3；s=0，1，2，3，4．
由$\left\{\begin{array}{l}{7-r-s=3}\\{r+s=4}\end{array}\right.$，得r+s=4，
则$\left\{\begin{array}{l}{r=0}\\{s=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{r=1}\\{s=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{s=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{r=3}\\{s=1}\end{array}\right.$，
x³y⁴项的系数为$（-2）^{0}{C}_{3}^{0}{C}_{4}^{4}+（-2）^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{3}$$+（-2）^{2}{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{2}+（-2）^{3}{C}_{3}^{3}{C}_{4}^{1}=17$．
故选：C．

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是掌握二项展开式的通项，是中档题．