Question

19．已知p：?x∈（0，+∞），x²-2elnx≤m；q：函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上单调递减．
（1）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时m的范围，（1）根据p，q都为假，求出m的范围是空集；（2）根据p，q一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：设f（x）=x²-2elnx，（x＞0），
若?x∈（0，+∞），x²-2elnx≤m，
则只需m≥f（x）_min即可，
由f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-e）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{e}$）递减，在（$\sqrt{e}$，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（$\sqrt{e}$）=0，故m≥0，
故p：m≥0；
若函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上单调递减，
则y=2x²-mx+2在[2，+∞）递增，
则对称轴x=-$\frac{-m}{4}$≤2，解得：m≤8，
故q：m≤8；
（1）若p∨q为假命题，则p假q假，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{m＞8}\end{array}\right.$，无解；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m＞8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{m≤8}\end{array}\right.$，
解得：m＞8或m＜0．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．