Question

4．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{BC}$的最小值为1．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，求出各向量的坐标，代入向量的数量积公式得出关于P点横坐标a的函数，利用二次函数的性质求出最小值．

解答 解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：
则A（0，0），B（2，0），C（2，1），设P（a，1）（0≤a≤2）．
$\overrightarrow{PA}$=（-a，-1），$\overrightarrow{PB}$=（2-a，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{BC}$=a（a-2）+1-（-1）=a²-2a+2=（a-1）²+1．
∴当a=1时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{BC}$取得最小值1．
故答案为：1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可简化计算，属于中档题．