Question

16．设函数f（x）=e^x-ax²-ex+b，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为-1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=$\frac{1}{2}$x，求实数a，b的值；
（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将（0，-1），代入f（x），即可求得b的值，求导，由f′（1）=-2，即可求得a的值；
（Ⅱ）求导，g′（x）=e^x-2a，分类分别取得g（x）在区间[0，1]上的最小值h（a）解析式，根据函数的单调性即可求得h（a）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲线f（x）在y轴上的截距为-1，则过点（0，-1），代入f（x）=e^x-ax²-ex+b，
则1+b=-1，则b=-2，求导f′（x）=e^x-2ax-e，
由f′（1）=-2，即e-2a-e=-2，则a=1，
∴实数a，b的值分别为1，-2；
（Ⅱ）f（x）=e^x-ax²-ex+b，g（x）=f′（x）=e^x-2ax-e，g′（x）=e^x-2a，
（1）当a≤$\frac{1}{2}$时，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a≤e^x恒成立，
即g′（x）=e^x-2a≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=1-e．
（2）当a＞$\frac{e}{2}$时，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a＞e^x恒成立，
即g′（x）=e^x-2a＜0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴g（x）≥g（1）=-2a
（3）当$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{e}{2}$时，g′（x）=e^x-2a=0，得x=ln（2a），
g（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，
所以g（x）≥g（ln2a）=2a-2aln2a-e，
∴h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-e}&{a≤\frac{1}{2}}\\{2a-2aln2a-e}&{\frac{1}{2}≤a≤\frac{e}{2}}\\{-2a}&{a＞\frac{e}{2}}\end{array}\right.$，
∴当a≤$\frac{1}{2}$时，h（a）=1-e，
当$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{e}{2}$时，h（a）=2a-2aln2a-e，求导，h′（a）=2-2ln2a-2=2ln2a，
由$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{e}{2}$时，h′（a）＜0，
∴h（a）单调递减，h（a）∈（1-e，-e]，
当a＞$\frac{e}{2}$时，h（a）=-2a，单调递减，h（a）∈（-∞，-e），
h（a）的最大值1-e．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．