Question

20．已知奇函数f（x）在R上为增函数，且f（1）=$\frac{1}{2}$，若实数a满足f（log_a3）-f（log_a$\frac{1}{3}$）≤1，则实数a的取值范围为（　　）

• A． 0＜a≤$\frac{1}{3}$
• B． a≤$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$≤a＜1
• D． a≥3或0＜a＜1

Answer 1

分析 由题意利用函数的奇偶性、单调性可得2f（log_a3）≤1，即f（log_a3）≤$\frac{1}{2}$=f（1），故有 log_a3≤1，由此求得a的范围．

解答 解：奇函数f（x）在R上为增函数，且f（1）=$\frac{1}{2}$，
若实数a满足f（log_a3）-f（log_a$\frac{1}{3}$）≤1，∴f（log_a3）+f（-${log}_{a}\frac{1}{3}$）=f（log_a3）+f（log_a3）=2f（log_a3）≤1，
即f（log_a3）≤$\frac{1}{2}$=f（1），∴log_a3≤1，求得a≥3，或0＜a＜1，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题．