Question

15．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=acosC+csinA，cosB=$\frac{4}{5}$．
（I） 求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．

Answer 1

分析 （I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=1，进而可求A，即可利用三角形内角和定理，两角差的余弦函数公式计算得解cosC的值．
（Ⅱ）由（I）利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ACB的值，由正弦定理可求得AB，进而可求BD，利用余弦定理即可得解CD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵cosB=$\frac{4}{5}$．B∈（0，π），
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，…2分
由b=acosC+csinA，可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin（C+A）=sinCcosA+cosCsinA，
可得：tanA=1，可得A=$\frac{π}{4}$，
则：cosC=cos（π-A-B）=cos（$\frac{3π}{4}$-B），…4分
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$…6分
（Ⅱ）由（I）可得：sin∠ACB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ACB}$=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，…8分
由正弦定理可得：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，即：$\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{AB}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$，解得：AB=14，…10分
因为，在△BCD中，BD=$\frac{1}{2}$AB=7，
可得，CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cosB=10²+7²-2×$10×7×\frac{4}{5}$=37．
解得：CD=$\sqrt{37}$…12分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．