Question

已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，则“a≤8”是“

1

x

+

4

y

≥a恒成立”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：利用基本不等式可得“

1

x

+

4

y

≥a恒成立”等价于a≤9，再根据{a|a≤8}?{a|a≤9}，从而得出结论．

解答：解：∵已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，
∴

1

x

+

4

y

=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=5+

y

x

+

4x

y

≥9，当且仅当 x=

1

3

且 y=

2

3

时，取等号．
故“

1

x

+

4

y

≥a恒成立”等价于a≤9．
而{a|a≤8}?{a|a≤9}，故“a≤8”是“

1

x

+

4

y

≥a恒成立”的充分不必要条件，
故选A．

点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，基本不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，
属于基础题．