Question

19．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，对其求导可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；结合f（0）=1可得g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1，则不等式f（x）＜e^x?$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1?g（x）＜1?g（x）＜g（0），借助函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则其导数g′（x）=$\frac{f′（x）•{e}^{x}-f（x）•（{e}^{x}）′}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又由f′（x）＜f（x），则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；
且g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1；
则不等式f（x）＜e^x?$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1?g（x）＜1?g（x）＜g（0），
又由函数g（x）为减函数，
则有x＞0；
则不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）；
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．