Question

椭圆C：，双曲线两渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又设l与l₂交于点P，l与C两交点自上而下依次为A、B；
（1）当l₁与l₂夹角为，双曲线焦距为4时，求椭圆C的方程及其离心率；
（2）若=λ，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由l₁与l₂夹角为，双曲线焦距为4时列出关于a，b，c的方程，再结合a，b，c之间的关系，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程及其离心率；
（2）先联立l与l₂求出点P的坐标，再根据=λ，求出点A的坐标；由点A在椭圆上，即可得到关于λ与e之间的等量关系，最后结合e的取值范围以及函数求最值的方法即可求λ的最小值．
解答：解：（1）由l₁与l₂夹角为知，=tan=…（1分）
又焦距为4∴a=，b=1 
∴椭圆C：=1，
e==．…（3分）
（2）不妨设，  则l：y=-
联立：⇒P（）
 由得，
又点A椭圆上，∴
    整理得λ²=…（7分）
∴λ²==（e²-2）++3
∵0＜e＜1∴-2＜e²-2＜-1   
∴-3＜（e²-2）+≤-2
∴0＜λ²≤3-2．
 由题知，λ＜0∴1-≤λ＜0 …（9分）
所以，λ的最小值为1-．…（10分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．第二问涉及到用基本不等式求函数的值域，在用基本不等式求函数的值域时，要注意其适用的三个限制条件：①均为正数，②积（或）和为定值，③等号成立时变量有意义．
所以在第二问用基本不等式求函数的值域时，须注意把其转化为正数再求解．