Question

已知椭圆C的中心在原点，离心率等于

1

2

，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x²=8

3

y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为

1

2

，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线x2=8

3

y的焦点，离心率等于

1

2

．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=

1

2

x+t，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．
②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x₁+2，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x₂+2，从而得出AB的斜率为定值

1

2

．

解答：解：（Ⅰ）设C方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则b=2

3

．
由

c

a

=

1

2

，a2=c2+b2，得a=4
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…（4分）
（Ⅱ）①解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=

1

2

x+t，
代入

x2

16

+

y2

12

=1，得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）
由韦达定理得x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12．
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

t2-4(t2-12)

=

48-3t2

．
由此可得：四边形APBQ的面积S=

1

2

×6×|x1-x2|=3

48-3t2

∴当t=0，Smax=12

3

．…（8分）
②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为-k，直线PA的直线方程为y-3=k（x-2）
由

y-3=k(x-2)…(1) x2 16 + y2 12 =1…(2)

（1）代入（2）整理得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0
∴x1+2=

8(2k-3)k

3+4k2

…（10分）
同理直线PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2=

-8k(-2k-3)

3+4k2

=

8k(2k+3)

3+4k2

∴x1+x2=

16k2-12

3+4k2

，x1-x2=

-48k

3+4k2

…（12分）kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1-2)+3+k(x2-2)-3

x1-x2

=

k(x1+x2)-4k

x1-x2

=

1

2

所以AB的斜率为定值

1

2

．…（14分）

点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．